Integraalilaskenta fysiikassa

Integraalilaskulla tarkoitetaan derivoinnin käänteistä operaatiota.  Toisin sanoen jos tunnetaan jonkin funktion derivaatta, niin on ratkaistava mikä tämä funktio on.

 

Hyvä fysiikan esimerkki on tilanne, jossa tunnetaan kappaleen nopeus v(t) ja tämän tiedon avulla on selvitettävä missä kappale minäkin ajanhetkenä on eli ratkaistava funktio x(t).

Tämä tehtävä on itse asiassa differentiaaliyhtälö:

 

                                                                       (1)

Differentiaaliyhtälön ratkaisemista sanotaan yleisesti integroimiseksi.  Heti alkuun on todettava, että yleistä menetelmää differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ja siis funktion integroimiseksi ei ole keksitty. 

 

Tämä on merkittävä ero esimerkiksi algebrallisiin yhtälöihin, tai derivointiin nähden.  On olemassa algebrallisia yhtälöitä joita ei voi ratkaista, mutta ratkaisumenetelmän avulla tällaisista yhtälöistä nähdään, ettei niitä voi ratkaista.

Tehtävä1. 

 

Kiltisti integroituvia funktioita on itse asiassa vähän.  Newtonilla oli kuitenkin hyvä tuuri, koska hänen tutkimansa taivaanmekaniikka johtaa yksinkertaisessa kahdenkappaleen tapauksessa helpohkosti integroitaviin differentiaaliyhtälöihin. 

Sen sijaan jo kolmen kappaleen ongelma johtaa yhtälöihin joita ei osata suljetussa muodossa ratkaista.

 

Yleensä tällaiset ratkaistaan myöhemmin selitettävillä numeerisen integroinnin menetelmillä.

 

Palataan sitten yhtälöön (1).  Yksinkertaisimmassa tapauksessa jos liike on tasaista eli v on vakio voidaan ratkaisu helposti keksiä.

                     

On siis keksittävä funktio x(t), jolle pätee:

                     

                      x’(t) = v =vakio  (tämä tarkoittaa, että v ei muutu ajan kuluessa)

 

Kokeillaan erilaisia yritteitä :

                      x(t) = vakio  à  x’(t) = 0 (ei käy)

                      x(t) = t           à x’(t) = 1  (läheltä liippaa)

 

Yleisesti ottaen yritteisiin kannattaa ympätä erilaisia vakioita.

 

                      x(t) = Bt         à  x’(t) = B

 

Jos nyt annetaan B:lle arvo    B = v saadaan ratkaisu:

 

                      x(t) = v t. 

Tämä on tuttu kaava:  matka = nopeus * aika.  Nyt vain on niin, että kyseiselle differentiaaliyhtälölle on löydettävissä yleisempikin ratkaisu:

 

yritteellä         x(t) =  v t + C  à     x’(t) = v  oli C mikä tahansa vakio,

 

sillä vakion derivaattahan oli nolla.

 

Tällaista vakiota C sanotaan integroimisvakioksi.  Fysiikassa sillä on erityinen merkitys, koska se määräytyy tehtävän reunaehtojen avulla.

 

Ajatellaan, että tarkastelun alussa, jolloin t = 0, kappale oli tietyssä alkupaikassa xo.

 

                      x(0) = xo = v 0 + C  à xo = C.

 

Näin saadaan yhtälön lopullinen ratkaisu:

 

                      x(t) =  v t + xo                                            (2).

 

 

Kuten huomaat, tässä on jo integroitu vaikka mitä, eikä kuuluisaa integrointimerkkiä ole esiintynyt ollenkaan.

 

siihen päästään ratkaisemalla (1) käyttäen niin sanottua muuttujien separointia eli erottelua. muuttujina ovat tässä tapauksessa x ja t.

 

                                                  * dt

 

                      d x(t) = v dt                          

 

                     

 

Jos olet matikan tunnilla harrastanut integrointia tiedät, että:

 

                       

ja v:n ollessa t:stä riippumaton vakio:

 

                     

Yhdistämällä integrointivakiot C = C2 – C1 = xo

saadaan taas tulos:

 

                      x(t) =  v t + xo                                            (2).

 

Ellet vielä ole rutinoitunut integroija ei hätää, koska ensi luvussa opetellaan kasoittain integraalilaskennan kikkoja.

 

Tehtävä 2:

Sovelletaan edellä käsiteltyjä kahta menetelmää yritettä ja määräämätöntä integraalia kun

v(t) = a t,   missä a = 2 m/s2 .