Integraalilaskennan niksejä

 

Kuten viime luvussa opittiin on integraalilaskenta pohjimmiltaan differentiaaliyhtälöiden ratkaisua peruskysymyksen ollessa funktion f(x) löytäminen kun sen derivaattafunktio f’(x) tunnetaan.

 

                                     (1)

Edellisessä luvussa todettiin myös, ettei tällaisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ole yleistä menetelmää.  Sen sijaan on olemassa monia tapoja ratkaista erityyppisiä integraaleja. Näiden tapojen opetteleminen auttaa monenlaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

 

Derivointisäännöt

Ensimmäinen mieleen tuleva tapa ratkaista integraali on käyttää derivointisääntöä väärinpäin:

Esimerkiksi polynomifunktiolle f(x) = xn  meillä on derivointisääntö f’(x) = n xn-1.

Tästä seuraa tietenkin välittömästi sääntö

 

                                   (2).

 

Tehtävä1:

Osoita: siitä, että derivointi on lineaarinen operaattori seuraa, että myös integrointi on lineaarinen operaattori, eli:

                                     (3)

Ratkaisu:

                      Olkoon

                      ja

siis: F’(x) = f(x) ja G’(x) = g(x).  Derivoinnin lineaarisuudesta seuraa:

 

                      D(aF(x) + bG(x)) = aDF(x)+bDG(x)=af(x)+bg(x), mistä väite välittömästi seuraa.

 

Tehtävä 2:

 

Osoita kaavojen (2) ja (3) avulla integroimiskaava:

                                                                            (4)

Eli kun derivoitaessa eksponentti pienenee 1:llä, niin integroitaessa se kasvaa, ja vakiokin käyttäytyy hauskasti eri tavalla. On siis pidettävä kieli keskellä suuta, ettei sotke näitä operaatioita toisiinsa. 

 

Tehtävä 3:

Laske  D x3,     x3dx,        x-4dx,      Dx,        xdx

 

Kaavojen (3) ja (4) avulla voit integroida helposti erilaisia polynomifunktioita. 

Jos yrität samalla tavoin integroida funktiota  joudut vaikeuksiin.

Tehtävä 4:

Millaisiin?

 

Tämä ei ole ollenkaan harvinaista integraalilaskennassa.  Kyseessä on niin sanottu erikoisfunktio.  On mielekästä puhua funktiosta, jonka derivaatta on  = 1/x.  Tämä funktio ei vaan ole polynomi.

Merkitään tätä funktiota y(x) :llä.  Nyt siis y’(x) = 1/x.

 

Derivoidaan tämän funktion käänteisfunktio x(y) x:n suhteen:

Triviaalisti pätee:

 

Toisaalta käyttäen yhdistetyn funktion derivointisääntöä:

                     

Näistä seuraa varsin jännä tulos:

 

                                                                 (5)

Tehtävä 5:

Käy kaavan (5) johto läpi niin monta kertaa, että ymmärrät sen.

 

Kaavassa  (5) oleva funktio x on siis sellainen funktio, jonka derivaatta on funktio itse.

Puhutaan derivoinnin suhteen neutraalifunktiosta.

 

Funktioille x ja y on annettu toiset nimet.  puhutaan eksponenttifunktioista

 

                      x = ey

 

ja sen käänteisfunktiosta eli logaritmifunktiosta:

 

                      y = ln x

Matematiikassa eksponentti ja logaritmifunktiot on määritelty eri lailla.  Tässä esitetty määritelmä on kuitenkin paras.  Siitä voidaan johtaa kaikki tunnetut ominaisuudet, joita näillä funktioilla on.

 

Fysiikassa ja jopa tällä kurssilla törmätään tuon tuostakin differentiaaliyhtälöihin, joita ei voida ratkaista jo tunnettujen funktioiden avulla.  Yhtälöistä voi kuitenkin päätellä näiden ratkaisufunktioiden eli erikoisfunktioiden ominaisuuksia.  On olemassa paksuja kirjoja erilaisista erikoisfunktioista. 

 

Eksponenttifunktion tärkeä ominaisuus on siis:

 

                      D ex = ex                              (6)

 

Tämä tekee eksponenttifunktiosta erittäin tärkeän funktion ratkottaessa differentiaaliyhtälöitä, koska se on neutraali derivoinnin suhteen.

Tehtävä 6

Minkälaiset luvut ovat neutraaleja yhteen ja kertolaskun suhteen.

 

Tehtävä 7

Osoita, että eksponenttifunktio ei voi olla polynomi.         

 

Tehtävä 8

 

Piirrä eksponenttifunktion f(x) = ex ja logaritmifunktion  f(x) = ln x kuvaajat laskimella ja paina ne visusti mieleesi.

 

Toinen välittömästi seuraava derivointisääntö on:

 

                                                (7)

 

Yllä olevasta erikoisfunktiomääritelmästä on kohtuullisella vaivalla johdettavissa kaikki eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet. Tee se jos intoa riittää.

Tällä kurssilla tyydytään näiden funktioiden differentiaalilaskentaan.

 

tehtävä 9:

 

Derivoi :

 

tehtävä 10

 

Piirrä funktiot ja niiden derivaattafunktiot:

 

tehtävä 11

Johda yleisen eksponenttifunktion ja logaritmifunktion  derivoimissäännöt:

 

                      D kx = kxln k

 

                     

millä edellytyksillä jälkimmäinen funktio on derivoitavissa?