Integroinnin perusmenetelmiä

 

Sijoitusintegraali

Differentioinnin avulla voidaan johtaa usein käyttökelpoinen tapa muutoin hankalien integraalien laskemiseksi.

Koska menetelmän teoreettinen johto on turhan rasittava tässä yhteydessä tarkastellaan menetelmää paremminkin esimerkin valossa. Menetelmää on myös hankala käyttää kaavamaisesti. kannattaa opetella kuinka sijoitus tehdään käytännössä ja sitten yrittää soveltaa sitä eri tapauksiin.

 

Tehtävä 1.

Integroi seuraava avaamalla sulut:

 

Johdatteleva esimerkki

Tehdään sama sijoituksen avulla. 

Otetaan käyttöön muuttuja t = 2x + 3 .  Olisi tietysti helppo juttu integroida .  Ihan näin helppo juttu tämä ei kuitenkaan ole koska differentiaalit eivät ole samat. dx ≠ dt.

Tämä nähdään merkitsemällä f(x) = 2x + 3  ja g(t) = t.

Nyt pätee luonnollisesti:

                                            f(x)  = g(x),  joten

 

                                            df = dg.

 

Mitä tämä vaikuttaa x:n ja t:n differentiaaleihin:

Derivoimalla saadaan:           ja  .

 

Siis                                      df = 2dx ja dg = dt.

 

Yllä olevan  tuloksen mukaan pätee näin:     2dx = dt.

 

Sijoituksessa onkin korvattava dx   :lla. 

 

Integraali saa siis muodon  .

Lopuksi on tietenkin palattava alkuperäiseen muuttujaan x.

 

Lopullinen tulos on siis: .

 

Tehtävä 2

Kehitä edellisen esimerkin tulosta niin, että saat tehtävässä 1 laskemasi tuloksen.

 

Johdattelevassa esimerkissä olevaa menetelmää käytetään käytännön integroinnissa tietysti suoraviivaisemmin. Siksi vielä toinen esimerkki, jonka integroiminen muutoin kuin sijoituksella on jo hankalampaa.

 

Työ esimerkki

 

Lasketaan integraali              .

 

Tehdään sijoitus:                   t= 3x2 + 4.

 

Lasketaan differentiaalit derivoimalla.          dt = 6x dx.

 

xdx:n sijoitukseksi tulee siis:  .

 

Ja integraaliksi:                     .

 

 

Ja sitten vain harjoittelemaan:

 

Tehtävä 3

Laske integraalit:

·       

·       

·       

·       

·       

·        .

 

Välillä joutuu käyttämään oveluutta sopivan sijoituksen löytämiseksi. 

Huomaa kuitenkin, että tämän harjoituksen esimerkit ja tehtävät on valittu sopivasti, joten niitä on helppo integroida.

Jos esimerkiksi työesimerkin osoittajasta jätetään x pois päädytään jo paljon vaikeampaan integraaliin.

 

                            (1)

tämän ratkaisemiseksi tarvitaan lisää erikoisfunktioita nimittäin trigonometriset funktiot, joiden merkitykseen palataan myöhemmin.

 

Integraaleja sisältävä taulukkokirja antaa kuitenkin yleisen ratkaisun:

 

                             (2)

 

Tehtävä 4

Mitä tulee integraalista (1) integroimiskaavan (2) avulla.

 

Osittaisintegrointi

Tulon derivointisäännöstä seuraa toinen usein käyttökelpoinen integroimismenetelmä, jota kutsutaan osittaisintegroinniksi.

Differentioidaan funktioiden u(x) ja v(x) tulo:

 

                      d(uv) = u dv + v du

 

Integroidaan tämä puolittain.

 

                      .

 

Muokataan:    .

 

Lopulliseksi osittaisdifferentiaalisäännöksi saadaan:

 

                      .                    (3)

 

Jollet ole aiemmin tutustunut osittaisintegrointiin näyttää tämä kaava epäilemättä kummalliselta.

Idea on siinä, että vain funktioiden tulon toinen tekijä on integroitava.  toiselle riittää derivointi. Näin tosin päästään vain uuteen integraaliin, mutta se saattaa olla helpompi ratkaista.

 

Nyrkkisääntö on, että toimiakseen on osittaisintegroinnissa onnistuttava integroimaan monimutkaisempi funktioista.

 

Esimerkki osittaisintegroinnin käytöstä

Integroidaan lauseke

                     

Toisin kuin sijoitusintegraalissa osittaisintegrointi kannattaa tehdä kaavamaisesti.

Valitaan mutkikkaampi integroitavaksi eli

 

                      v’(x) = ex  à  v(x) = ex.

Sitten vain derivoidaan.

 

                      u(x) = x à     u’(x) = 1.

Nyt sovelletaan kaavaa (3)

 

                      .

 

Tehtävä 5

Totea derivoimalla edellisen esimerkin tulos oikeaksi.

 

Tehtävä 6

Harjoitellaan osittaisintegrointia:

 

 

Joskus voidaan osittaisintegroinnilla saada yhtälö, josta voi ratkaista kysytyn integraalin. Yritä seuraavia:

 

Tehtävä 7

 

 

Seuraavaksi on aika palata enemmän fysiikkaan liittyviin ongelmiin.  On myös huomattava, ettei integroimiskikkailu ole fysiikan kannalta niin merkittävää.  Tärkeintä integroinnissa on saada tulos. Kuten aiemmin todettiin tämä on myös teoreettisesti pätevää, koska yleistä menetelmää integraalien laskemiseksi ei ole.  Voit siis vapaasti turvautua taulukoituihin integroimiskaavoihin, tai symbolisesti integroiviin laskimiin, Mathematika tai Derive tietokoneohjelmiin.  Tulet kuitenkin äkkiä huomaamaan, että ohjelmat ovat varsin rajoittuneita ja antavat usein suorastaan hupaisia ratkaisuja.  Ja sitten kokonaan toinen asia ovat matematiikan yo-kokeet, joissa tällaiset systeemit eivät tietenkään ole sallittuja.