Fysiikkaa ja differentiaaliyhtälöitä

Koulufysiikan puutteita

 

Tarkastellaan aluksi dynamiikan perusyhtälöä, eli Newtonin toista lakia:

                                                                          (1)

Tämän avulla osannet laskea voiman F jos massa m ja kiihtyvyys a annetaan. Vaikeutta ei tuottane myöskään kiihtyvyyden tai massan laskeminen, jos kaksi muuta tunnetaan.

 

Dynamiikan perusyhtälön voima on kuitenkin siinä, että sen avulla voidaan laskea kappaleen tuleva paikka, kun siihen vaikuttavat voimat tunnetaan. Fysiikan voima on juuri tulevaisuuden eksaktissa ennustamisessa.  Tätä ennustamista varten yhtälö on esitettävä differentiaaliyhtälönä:

                                                                (2)

Tästä yhtälöstä tulisi siis määrätä kappaleen paikka x(t), kun sen toinen derivaatta, eli kiihtyvyys a(t) tunnetaan.

 

Tällaisen tehtävän ratkaiseminen edellyttää differentiaali, ja integraalilaskennan tuntemista.

 

Differentiaalilaskentaa fysiikassa

 

Seuraavassa tarkastellaan differentiaalilaskentaa fysiikan näkökulmasta.  Se on hieman erilainen kuin matematiikan näkökulma, mutta käsittelee täsmälleen samaa asiaa.

 

Tietänet varmaan, että nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen.

Tarkastellaan hieman sitä mitä tällä tarkoitetaan.

 

Lähdetään ongelmasta miten kappaleen paikka x(t) muuttuu kun aika t kasvaa määrän Δt.

                      t  à Δt

                      x(t) à x(t + Δt)

siis

                      Δx = x(t + Δt) – x(t)                                   (3)

 

Tämä toimii kivuttomasti jos kyseessä on tasainen liike:

 

                      x(t) = v t,   missä v on vakiona pysyvä nopeus.

tehtävä 1:

Johda kaavasta (3) keskinopeuden kaava tasaisessa liikkeessä:   .

 

                                           

                      .

Tehtävä 2:

Yritä tehdä sama ei tasaiselle liikkeelle kuten x(t) = c t2, missä c on vakio.

 

Päädyit varmaan tulokseen   :   Δx = 2c t Δt + Δt2

Ongelma on tuo viimeinen termi.  siitä pääsemme eroon olettamalla Δt pieneksi, eli ottamalla raja-arvo.  Fysiikassa puhutaan differentioimisesta:

 

                      Δt  à  dt   ja Δx à dx.

 

Idea on siinä, että pienten lukujen (<<1) neliöt ovat vieläkin pienempiä.

 

Tehtävä 3:

Mitä on:  82  ;  0, 82 ; 0,082    ; 0,0082     ; 0,00082

 

Tehtävän 2 ratkaisu differentiaalimuodossa on:

 

                      dx = 2 c t dt + dt2

 

Nyt   dt2 << dt , eli se on ns. toisen kertaluvun termi.  Eli ensimmäisessä kertaluvussa:

 

                       dx = 2 c t dt

 

Näin nopeudelle saadaan lauseke :

 

                     

 

Lausekkeesta (2) saadaan paikan x(t) differentiaalin lauseke:

 

                      dx = x(t + dt) – x(t)              (4)

 

Nopeudelle saadaan tuttu derivaatan määritelmä

 

                                               (5)

 

 

 

Derivaatta graafisesti

Sama tarkastelu voidaan hyvin mielekkäällä tavalla tehdä grafiikkaa käyttäen.

Piirretään liike paikka-aika koordinaatistoon.

 

Tarkastellaan ensin tasaista liikettä, jonka kuvaaja tunnetusti on suora.

 


 


Liikkeen nopeus on suoran kulmakerroin, joka saadaan kuvaajasta mittaamalla Δx ja Δt.

Nopeus voidaan tämän jälkeen laskea:

 

                     

Jos liike on muuttuvaa on kuvaaja käyrä ja edellinen menetelmä antaa huonon approksimaation hetkelliselle nopeudelle.


 

 


Approksimaatiota voi kuitenkin parantaa pienentämällä Δt.

 

                      Δt à dt

                      Δx à dx

 

 


 


Lopulta hetkellinen nopeus on käyrän tangentin, eli sivuajan kulmakerroin

                       

Olemme näin päätyneet jälleen tulokseen, että nopeus on paikan derivaatta.

Yleisestihän derivaatta kuvaa jonkin suureen muuttumisnopeutta ja juuri tästähän fysiikassa ollaan usein kiinnostuneita.

 

 

tehtävä 4

 

Tehtävässä 2 käsiteltiin kappaletta, jonka paikka oli ajan funktio  x(t) = c t2.

Oletetaan, että c:n numeroarvo on 2.

 

Kiihtyvyys määritellään vastaavasti nopeuden aikaderivaattana:

                     

tehtävä 5

Tee kaikki tehtävän 4 kohdat, kun