Derivointia

 

Fysiikan käsitteet ovat usein funktioita.  Esimerkiksi hiukkasen paikka, nopeus ja kiihtyvyys ovat ajan funktioita. x(t), v(t), a(t).

 

Tehtävä 1.

 

Miten funktiot määritellään matematiikassa.  Pohdi miten matematiikan funktion määritelmä sopii funktioihin . x(t), v(t), a(t).

 

Fysiikan funktiot eivät tietenkään aina ole ajan funktioita.  Nopeus voidaan esittää myös paikan funktiona.

 

Tehtävä 2.

 

Olkoon  v(s) = s2 + 3s – 2  ja  s(t) = 2 t – 3.  Määrää v(t).

 

Näin tultiin sisäfunktion käsitteeseen, joka on tärkeä jatkossa.

 

Keskeistä on, että opit yhdistämään toisiinsa funktion algebrallisen muodon ja kuvaajan.  Tässä auttaa funktiolaskuri.  Hukkaan ei kulu aika jonka kulutat piirtelemällä sillä erilaisia esiin tulevia funktioita.  Lopulta toivon mukaan opit heti lausekkeen nähdessäsi kuvittelemaan funktion kulun.

 

Tehtävä 3

 

Miten mahtaakaan funktion f(x) = xn kuvaaja kulkea n:n eri arvoilla?

 

Fysiikan kannalta on oleellista tarkastella kuinka funktiosta saadaan uusi erilainen funktio.  Otuksia, jotka funktion muuttavat sanotaan operaattoreiksi.

 

                      Af = g

 

Yleisesti jos A on operaattori se vaikuttaa funktioon f muuntaen sen funktioksi g. 

Derivaattaa voidaan pitää tässä mielessä operaattorina, jolloin sitä yleensä merkitään D:llä

 

Esimerkiksi edellisen luvun mukaan

 

                      Dxn = nxn-1                           (1)

 

Tässä operaattori D muutti funktion f = xn sen derivaattafunktioksi g = f’ =  n xn-1.

 

Fysiikassa tärkeimpiä ovat lineaariset operaattorit.  Niille pätee:

 

                      A(af+bG) = a Af + b Ag , missä a ja b ovat vakioita.

 

Heti nähdään, että derivaatta on lineaarinen operaattori:

 

                      D(af+bG) = a Df + b Dg      (2)

 

Tehtävä 4

Esimerkkejä operaattoreista ovat miinus merkki,  itseisarvo ja vaikkapa toiseen korottava operaattori. 

 

Mitä tulee kun nämä operaattorit vaikuttavat funktioon f(x) = 3x – 2 ?

Piirrä näiden funktioiden kuvaajat.

Tarkastele näiden operaattoreiden lineaarisuutta.

 

Derivoinnin lineaarisuutta hyväksi käyttäen on helppo laskea polynomifunktioiden derivaattoja.

 

Tehtävä 5

Derivoi kaavojen (1) ja (2) avulla seuraavat polynomifunktiot:

 

a)                  

b)                  

c)                  

d)                  

 

Tehtävä 6

Hahmottele paperille edellisen tehtävän funktioiden ja niiden derivaattafunktioiden kuvaajat.  Käytä taas laskurin grafiikkaa.

 

Tehtävä 7

Määrää tehtävän 5 funktioiden ääriarvot.  Vertaa tulosta tehtävän 6 kuvaajiin.

 

Pohdi millaisilla funktioilla ei ole derivaattaa.  Fysiikassa funktiot ovat yleensä siististi derivoituvia joitakin erikoispisteitä lukuun ottamatta.

 

Tehtävä 8

 

Johda derivoimalla tasaisesti kiihtyvän liikkeen matkan kaavasta:

                     

nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeet