Derivointikaavoja

Derivointi on operaatio, joka on saatava mahdollisimman automaattiseksi. Se tapahtuu harjoittelemalla ja taas harjoittelemalla.

Viime kerralla opittiin derivoimaan polynomifunktioita käyttäen hyväksi derivoinnin lineaarisuutta ja kaavaa:

(1)

Tällä tavoin voit derivoida varsin mutkikkaitakin funktioita.

Tehtävä 1

Derivoi funktiot ja näin aluksi ihan kertausmielessä

Tehtävä 2

Kerro sitten auki polynomien tulo f(x)g(x) ja derivoi näin saatu polynomi.

Tehtävä 3

Totea edellisten tehtävien polynomeille, että D(fg) ≠ Df Dg.

Oikea tulon derivointikaava on (kuten matikassa opitaan)

D(fg) = f Dg + g Df (2)

Tehtävä 4

Verifioi kaava (2) tehtävän 1. polynomeille.

Tutustutaan seuraavaksi vastaavalla tavalla osamäärän derivointisääntöön.

Tehtävä 5

Muunna funktio polynomiksi ja derivoi se sitten (1):n avulla.

Tehtävä 6

Voit derivoida sen myös (2):n avulla muuntamalla se ensin tuloksi:

. Tee näin.

Kolmas tapa derivoinnin suorittamiseen on käyttää osamäärän derivoinnin kaavaa:

(3)

Tehtävä 6

Käytä kaavaa (3) tehtävän 5 funktioon ja totea, että saat taas saman tuloksen.

Tehtävä 7

Osoita, että jos derivoit funktion kaavalla (3) päädyt samaan tulokseen, kuin derivoimalla funktion f(x) = x^-n kaavalla (1).

Joskus ei kuitenkaan ole vaihtoehtoja.

Tehtävä 8

Derivoi funktio

Neljäs tärkeä derivointikaava on yhdistetyn funktion derivointi:

(4)

Tämä ketjusäännöksi (chain rule) kutsuttu laki esitetään fysiikassa hieman eri lailla kuin matematiikassa. Näin esitettynä se muistuttaa käytännössä laventamista, ja on melko kätevä.

Tehtävä 9

Sovella ketjusääntöä (4) kun f(u) = 2 u² – u + 3 ja u(x)= x² – 1.

Lopuksi on tietysti saatava lauseke f’(x). Toisin sanoen eliminoi u sijoituksella.

Tehtävä 10

Derivoi edellisen tehtävän funktio sijoittamalla u:n lauseke ensin f:n ja laskemalla näin funktio f(x) ja derivoimalla sitten.

Tehtävä 11

Derivoi funktio f(x) = (2x² – x – 4)²

• avaamalla sulut
• käyttäen kaavaa (2)
• käyttäen kaavaa (4)

Vihje viimeiseen kohtaan: f(u) = u²

Tehtävä 12

Mitä onkaan funktion derivaatta?

Tehtävä 13

Kaavan (4) avulla voi derivoida mutkikkaampiakin juurilausekkeita. Derivoi:

• 
• 

Tehtävä 14

On sittenkin olemassa toinen tapa derivoida tehtävän 8 funktio . Otetaan sisäfunktioksi nimittäjä u(x) = x-1. Tee!