Derivointikaavoja

 

Derivointi on operaatio, joka on saatava mahdollisimman automaattiseksi.  Se tapahtuu harjoittelemalla ja taas harjoittelemalla.

 

Viime kerralla opittiin derivoimaan polynomifunktioita käyttäen hyväksi derivoinnin lineaarisuutta ja kaavaa:

 

                                              (1)

 

Tällä tavoin voit derivoida varsin mutkikkaitakin funktioita. 

 

Tehtävä 1

Derivoi funktiot  ja  näin aluksi ihan kertausmielessä

 

Tehtävä 2

Kerro sitten auki polynomien tulo f(x)g(x) ja derivoi näin saatu polynomi.

 

Tehtävä 3

Totea edellisten tehtävien polynomeille, että D(fg) ≠ Df Dg.

 

Oikea tulon derivointikaava on (kuten matikassa opitaan)

 

                      D(fg) = f Dg + g Df              (2)

 

Tehtävä 4

 

Verifioi kaava (2) tehtävän 1. polynomeille.

 

Tutustutaan seuraavaksi vastaavalla tavalla osamäärän derivointisääntöön.

 

Tehtävä 5

Muunna funktio  polynomiksi ja derivoi se sitten (1):n avulla.

 

Tehtävä 6

Voit derivoida sen myös (2):n avulla muuntamalla se ensin tuloksi:

 

                      .  Tee näin.

Kolmas tapa derivoinnin suorittamiseen on käyttää osamäärän derivoinnin kaavaa:

 

                                  (3)

 

Tehtävä 6

Käytä kaavaa (3) tehtävän 5 funktioon ja totea, että saat taas saman tuloksen.

 

Tehtävä 7

Osoita, että jos derivoit funktion  kaavalla (3) päädyt samaan tulokseen, kuin derivoimalla funktion f(x) = x-n kaavalla (1).

 

Joskus ei kuitenkaan ole vaihtoehtoja.

 

Tehtävä 8

Derivoi funktio

 

Neljäs tärkeä derivointikaava on yhdistetyn funktion derivointi:

 

                                    (4)

Tämä ketjusäännöksi (chain rule) kutsuttu laki esitetään fysiikassa hieman eri lailla kuin matematiikassa.  Näin esitettynä se muistuttaa käytännössä laventamista, ja on melko kätevä.

 

Tehtävä 9

Sovella ketjusääntöä (4) kun f(u) = 2 u2 – u + 3 ja  u(x)= x2 – 1.

Lopuksi on tietysti saatava lauseke f’(x).  Toisin sanoen eliminoi u sijoituksella.

Tehtävä 10

Derivoi edellisen tehtävän funktio sijoittamalla u:n lauseke ensin f:n ja laskemalla näin funktio f(x) ja derivoimalla sitten.

 

Tehtävä 11

Derivoi funktio f(x) = (2x2 – x – 4)2

Vihje viimeiseen kohtaan:  f(u) = u2

 

Tehtävä 12

Mitä onkaan funktion  derivaatta?

 

Tehtävä 13

 

Kaavan (4) avulla voi derivoida mutkikkaampiakin juurilausekkeita.  Derivoi:

 

Tehtävä 14

   On sittenkin olemassa toinen tapa derivoida tehtävän 8 funktio  .  Otetaan sisäfunktioksi nimittäjä  u(x) = x-1. Tee!