Derivointi on operaatio, joka on saatava mahdollisimman automaattiseksi. Se tapahtuu harjoittelemalla ja taas harjoittelemalla.
Viime kerralla opittiin derivoimaan polynomifunktioita käyttäen hyväksi derivoinnin lineaarisuutta ja kaavaa:
(1)
Tällä tavoin voit derivoida varsin mutkikkaitakin funktioita.
Derivoi funktiot ja
näin aluksi ihan
kertausmielessä
Kerro sitten auki polynomien tulo f(x)g(x) ja derivoi näin saatu polynomi.
Totea edellisten tehtävien polynomeille, että D(fg) ≠ Df Dg.
Oikea tulon derivointikaava on (kuten matikassa opitaan)
D(fg) = f Dg + g Df (2)
Verifioi kaava (2) tehtävän 1. polynomeille.
Tutustutaan seuraavaksi vastaavalla tavalla osamäärän derivointisääntöön.
Muunna funktio polynomiksi ja
derivoi se sitten (1):n avulla.
Voit derivoida sen myös (2):n avulla muuntamalla se ensin tuloksi:
. Tee näin.
Kolmas tapa derivoinnin suorittamiseen on käyttää osamäärän derivoinnin kaavaa:
(3)
Käytä kaavaa (3) tehtävän 5 funktioon ja totea, että saat taas saman tuloksen.
Osoita, että jos derivoit funktion kaavalla (3) päädyt
samaan tulokseen, kuin derivoimalla funktion f(x) = x-n kaavalla
(1).
Joskus ei kuitenkaan ole vaihtoehtoja.
Derivoi funktio
Neljäs tärkeä derivointikaava on yhdistetyn funktion derivointi:
(4)
Tämä ketjusäännöksi (chain rule) kutsuttu laki esitetään fysiikassa hieman eri lailla kuin matematiikassa. Näin esitettynä se muistuttaa käytännössä laventamista, ja on melko kätevä.
Sovella ketjusääntöä (4) kun f(u) = 2 u2 – u + 3 ja u(x)= x2 – 1.
Lopuksi on tietysti saatava lauseke f’(x). Toisin sanoen eliminoi u sijoituksella.
Derivoi edellisen tehtävän funktio sijoittamalla u:n lauseke ensin f:n ja laskemalla näin funktio f(x) ja derivoimalla sitten.
Derivoi funktio f(x) = (2x2 – x – 4)2
Vihje viimeiseen kohtaan: f(u) = u2
Mitä onkaan funktion derivaatta?
Kaavan (4) avulla voi derivoida mutkikkaampiakin juurilausekkeita. Derivoi:
On sittenkin
olemassa toinen tapa derivoida tehtävän 8 funktio . Otetaan sisäfunktioksi
nimittäjä u(x) = x-1. Tee!