Syntaktiset ongelmat

Eksaktin tieteen kieli on matematiikka, joka perustuu logiikkaan.  Filosofisten lauseiden syntaksi voidaan myös palauttaa logiikkaan.

Keskeinen ajatus on, että lauseiden looginen totuus voidaan ratkaista atomilauseiden totuusfunktioiden avulla.

Boolen algebrassa lauseet voidaan muodostaa atomilauseista vain muutamalla loogisella konnektiivilla. 

Esimerkiksi lause: 

Tänään paistaa Aurinko ja torilla on paljon ihmisiä.

Koostuu kahdesta atomilauseesta 

Tänään paistaa Aurinko.

Torilla on paljon ihmisiä.

Atomilauseet on yhdistetty konnektiivilla "ja" eli konjunktiolla.  Alkuperäinen lause on tosi vain jos molemmat atomilauseet ovat tosia. 

Lisää lauselogiikkaa

Lauselogiikka on täydellinen teoria

Tämä tarkoittaa sitä, että jos annetaan tosien atomilauseiden joukko:

{A, B, C,....}, niin mistä tahansa lauseesta voidaan lauselogiikan sääntöjen (totuustaulujen) avulla päätellä onko se tosi vai epätosi.

Tämä on tietysti formaalia siinä mielessä, ettei tässä puututa semantiikkaan, eli siihen miten todet atomilauseet määritellään.

Predikaattilogiikka ei ole täydellinen teoria

Tummia pilviä alkoi kuitenkin varsin pian kasautua loogisen empirismin ideaalin päälle. 

Lauselogiikka on nimittäin liian köyhä teoria.  Se ei riitä matematiikkaan tai luonnontieteisiin puhumatikkaan filosofiasta.

Lauselogiikka ei ota huomioon asioiden välisiä suhteita.  Sitä varten tarvitaan predikaattilogiikkaa.

Tarkastellaan vielä vähän aikaisempaa esimerkkiä:

Tänään paistaa Aurinko ja torilla on paljon ihmisiä.

Atomilauseet:

Tänään paistaa Aurinko.

Torilla on paljon ihmisiä.

eivät todellisuudessa ole aivan toisistaan riippumattomia.  Ihmiset nimittäin käyvät torilla luonnollisesti enemmän kauniilla kuin rumalla ilmalla.

Predikaattilogiikan tarkempaa esittelyä ei ole tähän tehty (ainakaan vielä), mutta sitä koskevan loogisen tutkimuksen tulokset ovat loogisen empirismin kannalta tärkeitä.

Vähänkin mutkikkaampi predikaattilogiikka johtaa nimittäin Russellin paradoksin kaltaisiin antinomioihin.

Vieläkin ratkaisevampi tulos on Gödelin epätäydellisyyslause.  Sen mukaan kaikki tällaiset teoriat sisältävät lauseita, joita ei voi todistaa kyseisessä teoriassa.

Näin myös matematiikka osoittautui periaatteessa epätäydelliseksi. Voidaan sanoa, että Gödel särki Hilbertin unelman todistaa kaikki matematiikan lauseet.

paluu